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By Hilgert J.

Der vorliegende textual content ist eine vorlaufige Ausarbeitung meiner Vorlesungen research I-IV (Wintersemester 2004/2005 { Sommersemester 2006) an der Universitat Paderborn.

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Example text

5 : Sei (Z, +, ·, P ) ein geordneter K¨ orper. Dann gilt f¨ ur a, b, c, d ∈ Z (i) a < b ⇒ a + c < b + c. (ii) (a < b, c < d) ⇒ a + c < b + d. (iii) (a < b, 0 < c) ⇒ ac < bc. (iv) (a < b, c < d, 0 < b, 0 < c) ⇒ ac < bd. 26 KAPITEL 1. 4. 6 impliziert dies (b + c) − (a + c) = b − a ∈ P also a + c < b + c. (ii) Mit (i) findet man a + c < b + c < b + d, also wegen der Transitivit¨at a + c < b + d. 14 findet man bc − ac = (b − a)c ∈ P , also ac < bc. 4, ac < bd. Die Einteilung des Zahlbereichs Z in positive und negative Zahlen (und 0) erlaubt die Einf¨ uhrung eines Absolutbetrags |a| (oft sagt man einfach nur Betrag) einer Zahl a ∈ Z: |a| := a −a f¨ ur a ≥ 0 f¨ ur a < 0.

Grenzwert ✲ a b .. .. .. ... ... ... ...... ......... ............... 1. 1 : (i) Die Funktion f : ]2, ∞[→ R, −(x − 2)2 |x − 2| + (x − 2) x→ hat in 2 den rechtsseitigen Grenzwert 0. y ✻ ❍ 2 ❍❍ ✲x ❍❍ (ii) F¨ ur a ∈ R bezeichnet man mit a die gr¨oßte ganze Zahl, die kleiner oder gleich a ist. Man nennt a den ganzzahligen Anteil von a. Dann hat die Funktion f : ]0, ∞[→ R, x→x 2 x + −2 x 2 in 0 den rechtsseitigen Grenzwert 0. ✻     1 ♣ ♣ ♣ ♣ ♣n + r 2 1 n+r     x 4 ✟✟ 2 ✟ ✟ ✟✟ ✟✟ 2 ✟ ✟✟ −2 ✲ ✟ betrachte die Werte f¨ ur x = 1 n+r mit n ∈ N und r ∈ [0, 1[ Analog zum rechtsseitigen Grenzwert kann man nat¨ urlich auch linksseitige und beidseitige Grenzwerte betrachten: Sei M ⊆ R eine Teilmenge und x0 ∈ R ein Punkt, f¨ ur den gilt ∀δ > 0 : ]x0 − δ, x0 [ ∩ M = ∅.

X ✲x ...................... ................ ........... . . . . ...... ....... ...... 6 : Entscheide, ob die folgenden Grenzwerte existieren und berechne sie gegebenenfalls. x . 7 : Sei 1 0 f (x) := falls x rational, falls x irrational. Zeige, daß der Grenzwert lim f (x) f¨ ur kein a ∈ R existiert. 8 : Sei f : R → R eine Funktion, die die Cauchysche Funktionalgleichung f (x + y) = f (x) + f (y) f¨ ur alle x, y ∈ R erf¨ ullt. Zeige: Falls der Grenzwert lim f (x) existiert, so existiert auch der Grenzwert lim f (x) x→0 f¨ ur jedes a ∈ R.

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